Netherlands En mathématiques, la formule de Faulhaber, portant le nom du mathématicien allemand Johann Faulhaber, exprime la somme des puissances p-ième des n premiers entiers : ∑ k = 1 n k p = 1 p + 2 p + 3 p + ⋯ + n p ( pour n ∈ N ∗ et p ∈ N ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}\qquad \left({\mbox{pour }}n\in \mathbb {N} ^{*}{\text{ et }}p\in \mathbb {N} \right)} par une fonction polynomiale de degré p + 1 en n, les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli : B 2 = 1 6 , B 4 = − 1 30 , B 6 = 1 42 … {\displaystyle B_{2}={\tfrac {1}{6}},\quad B_{4}=-{\tfrac {1}{30}},\quad B_{6}={\tfrac {1}{42}}\ldots } les nombres de Bernoulli d'indices impairs supérieurs ou égaux à trois étant nuls. ∑ k = 1 n k p = 1 p + 1 ( n p + 1 + 1 2 ( p + 1 ) n p + 1 6 ( p + 1 2 ) n p − 1 − 1 30 ( p + 1 4 ) n p − 3 + 1 42 ( p + 1 6 ) n p − 5 + … + ( p + 1 ) B p n ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\left(n^{p+1}+{\frac {1}{2}}(p+1){n^{p}}+{\frac {1}{6}}{p+1 \choose 2}{n^{p-1}}-{\frac {1}{30}}{p+1 \choose 4}{n^{p-3}}+{\frac {1}{42}}{p+1 \choose 6}{n^{p-5}}+\ldots +(p+1)B_{p}n\right)} .Les coefficients ( p + 1 j ) {\displaystyle \textstyle {p+1 \choose j}} qui apparaissent sont les coefficients binomiaux (anciennement notés C p + 1 j {\displaystyle \mathrm {C} _{p+1}^{j}} ).